%\documentclass{article} %DÉSACTIVER POUR A5
\documentclass[a5paper]{article} %ACTIVER POUR A5

%########
% Packages #
%########

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[french]{babel}

%######Affichage des maths
\DecimalMathComma %pour ne plus avoir d'espace après la virgule dans l'écriture décimale des nombres

\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb,amsthm}
\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{amsopn}

\usepackage[np]{numprint}%écriture des nombres avec des espaces et en écriture scientifique

\usepackage{dsfont} %Pour faire le 1 double barre de la fonction caractéristque dans un enironnement maths. \mathds{1}
%\usepackage{bbold} %Double barre mais en petit pour tout les nombres dans un environnement maths.\mathbb{1}

%######Graphique
\usepackage[dvipsnames]{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{pgf}
\usepackage{tikz}
\usepackage{tkz-tab}
\usetikzlibrary{shapes,arrows}

\usepackage{geometry} 
\geometry{hscale=0.85,vscale=0.85,centering}

%######Tableau
\usepackage{array} %pour centrer dans un tableau
\usepackage{colortbl} %pour colorier les cellules lignes colonnes d'un tableau: \rowcolor{}, \columncolor{}, \cellcolor{purple!25}
\usepackage{tabularx} %quelques amélioraions de l'environnement tabular
\usepackage{diagbox} %Pour faire une diagonale dans une case d'un tableau: \diagbox{bas gauche}{haut droit}
\usepackage{multirow} %fusionner des cellules horizontalement

%######Hyperliens dans les pdf

\usepackage[colorlinks=true,linkcolor=magenta,urlcolor=magenta]{hyperref}% Pour créer des liens à l'intérieur du pdf: \hyperlink{label}{texte du lien} permettra d'atteindre la cible identifiée par \hypertarget{label}{texte de la cible}. Les textes du lien et de la cible peuvent être vides.

%######Des symboles et images

\usepackage{marvosym} %Image de téléphone protable avec la commande \Mobilefone

\usepackage{fdsymbol} %Notamment le cœur plein: \varheartsuit

\usepackage{eurosym}%pour afficher le symbole euro

%######Vrac

\usepackage{enumerate}%énumération avec des lettres 
\usepackage{tasks}%Pour avoir une liste en ligne utiliser \begin{tasks}(2) (pour deux colonnes) et non pas enumerate puis \task et non pas \item 

\usepackage{stmaryrd}%pour faire des "intervalles" d'entiers \llbracket et \rrbracket

\usepackage{xlop}%poser les calculs en colonne: \opdiv[displayintermediary=nonzero,voperation=top,shiftdecimalsep=none]{27}{45}
\opset{decimalsepsymbol={,}}

\usepackage{verbatim}%pour utiliser commande \exclure et normalement pour faire l'affichage tel quel sans compiler le texte. 
%\usepackage{alltt}%Pour utiliser une commande latex dans un environnement verbatim il faut utiliser: alltt
%Pour écrire juste suelques mots en verbatim au milieu d'un phrase: \verb|quelques mots|

\usepackage{fancyhdr}

%######Algo

\usepackage{listings} % \begin{lstlisting} \end{lstlisting} affiche du code comme le fait le langage choisi. \lstset{language=Pascal} \lstset{language=Python} pour choisir le langage dans le document avant chaque programme ou avant le \begin{document} pour l'appliquer à tout le document. 
%\lstset{} permet d'indiquer toutes les options. Pas de caractère accentué (option lourdingue à rajouter) qui vont s'ppliquer pour toute la suite du document: \lstset{language=Python}
%Il espossible d'inclure un code python d'un fichier extérieur \lstinputlisting{source_filename.py}.
%Il est possible de définir une présentation personnalisé par un ensemble de configuration enregistré dans un fichier de style
\lstdefinestyle{pythonstyle}{
	language=Python,
	backgroundcolor=\color{gray!30},   
	commentstyle=\color{Plum},
	keywordstyle=\color{blue},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{ForestGreen},
	basicstyle=\ttfamily\color{black},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                 
	numbers=none,                   
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
\lstset{style=pythonstyle}

\lstdefinestyle{bashstyle}{
	language=bash,
	backgroundcolor=\color{black},   
	commentstyle=\color{white},
	keywordstyle=\color{magenta},
	numberstyle=\tiny\color{black},
	stringstyle=\color{white},
	basicstyle=\ttfamily\footnotesize\color{white},
	breakatwhitespace=false,         
	breaklines=true,                 
	captionpos=b,                    
	keepspaces=true,                
	numbers=left,                    
	numbersep=5pt,                  
	showspaces=false,                
	showstringspaces=false,
	showtabs=false,                  
	tabsize=1
}
%\lstset{style=bashstyle}

\usepackage[french]{algorithm2e}%pseudocode

\usepackage{scratch3}

%############### Formule developpée molécule chimie

\usepackage{chemfig}

%#####################
% Commande et environnement #
%#####################

\theoremstyle{plain}

%Pour redéfinir les commande section (changer la couleur centrer):
\usepackage{titlesec}
\titleformat{\section}[block]{\color{blue}\Large\bfseries\filcenter}{}{1em}{}
\titleformat{\subsection}[hang]{\color{purple}\large\bfseries}{\thesubsection}{1em}{}
\titleformat{\subsubsection}[hang]{\color{RoyalBlue} \bfseries}{\thesubsubsection}{1em}{}
\titleformat{\paragraph}[hang]{}{}{1em}{}

\renewcommand{\thesection}{{}}
\renewcommand{\thesubsection}{\color{purple}\Roman{subsection}}
\renewcommand{\thesubsubsection}{\color{RoyalBlue}\arabic{subsubsection}}

\newenvironment{correction}{\color{Brown}}{\medskip}

\newenvironment{sujet}{}{\medskip}

%environnement bareme
\newenvironment{bareme}{\color{RoyalBlue}\footnotesize \hfill }{\footnotesize \emph{~points}}

%environnement détais du barème
\newenvironment{details}{\color{RoyalBlue}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement notabene
\newenvironment{notabene}{\color{PineGreen}\noindent ~\\}{~\\}

%environnement exemples
\newenvironment{exemples}{\color{blue} \medskip \noindent \underline{Exemples.}}{}

%environnement remarques
\newenvironment{remarques}{\medskip \noindent {\color{BlueViolet}\underline{Remarques.}}\color{BlueViolet}}{}

\newenvironment{lecon}{\color{black}}{}

\newenvironment{culturegenerale}{\color{Violet}}{}

%Pour redéfinir les environnements exercices et autres avec de la couleur
\newsavebox{\selvestebox}
\newenvironment{colbox}[1]
{\newcommand\colboxcolor{#1}%
	\begin{lrbox}{\selvestebox}%
		\begin{minipage}{\dimexpr\columnwidth-2\fboxsep\relax}}
		{\end{minipage}\end{lrbox}%
	\begin{center}
		\colorbox{\colboxcolor}{\usebox{\selvestebox}}
\end{center}}

%environnement exercice
\newcounter{Exercice}
\setcounter{Exercice}{1}
\newcounter{Exercicecorrection}
\newenvironment{exercice}[1]{ \setcounter{Exercicecorrection}{\theExercice} \color{black} \begin{colbox}{LimeGreen!30} \hfill {\color{OliveGreen}Exercice \theExercice. {\color{black}#1}} \hfill \addtocounter{Exercice}{1}}{ \end{colbox} }

%environnement exercicecorrection
\newenvironment{exercicecorrection}{\medskip \small \color{Brown} \noindent \underline{Correction de l'exercice \theExercicecorrection}
	
}{}

%environnement definition
\newcounter{Definition}
\setcounter{Definition}{1}
\newenvironment{definition}{\medskip \noindent {\color{orange}Définition \theDefinition} \addtocounter{Definition}{1} \newline \noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement théorème il est possible d'ajouter un titre de théorème en mettant entre accolade le titre après le begin{theoreme}
\newcounter{Theoreme}
\setcounter{Theoreme}{1}
\newenvironment{theoreme}[1]{\medskip \noindent {\color{purple}Théorème \theTheoreme #1} \addtocounter{Theoreme}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement proposition
\newcounter{Proposition}
\setcounter{Proposition}{1}
\newenvironment{proposition}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Proposition \theProposition #1} \addtocounter{Proposition}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement propriété
\newcounter{Propriete}
\setcounter{Propriete}{1}
\newenvironment{propriete}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Propriété \thePropriete #1} \addtocounter{Propriete}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement méthode
\newcounter{Methode}
\setcounter{Methode}{1}
\newenvironment{methode}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Méthode \theMethode #1} \addtocounter{Methode}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement lemme
\newcounter{Lemme}
\setcounter{Lemme}{1}
\newenvironment{lemme}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Lemme \theLemme #1} \addtocounter{Lemme}{1}
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement corollaire
\newcounter{Corollaire}
\setcounter{Corollaire}{1}
\newenvironment{corollaire}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen}Corollaire \theCorollaire #1} \addtocounter{Corollaire}{1} 
	
	\noindent \begin{tabular}{|m{12cm}|}\hline \\ }{\\ \hline \end{tabular}}

%environnement démonstration
\newcounter{Demonstration}
\setcounter{Demonstration}{1}
\newenvironment{preuve}[1]{\medskip \noindent {\color{PineGreen} Démonstration} \hfill #1 \addtocounter{Demonstration}{1} \color{violet} 
	
}{\hfill $\blacksquare$}

%environnement conclusion encadré et coloré
\newenvironment{conclusion}
{\color{PineGreen}\begin{tabular}{|c|}\hline \\ \begin{minipage}{0.85\linewidth} \begin{center} }
			{\end{center} \end{minipage} \\ \\ \hline \end{tabular} }

%Commande pour l'objectif et l'écrire en vert
\newcommand{\objectif}[1]{{\color{PineGreen}#1}
	
	\medskip}

%########################
%Test conditionnel pour l'affichage    #
%########################
\newif\ifs
%\strue%affiche la boite à trous
\sfalse%affiche la réponse

%Pour faire une case à trou complétable sur le pdf
\newcounter{Trous}
\setcounter{Trous}{1}
\newcommand{\trous}[2][3cm]{
	\ifs
	\begin{Form}
		\TextField[name=\theTrous ,bordercolor=,borderwidth=0, backgroundcolor=gray!20, align=1,  width=#1 ,height=0.2cm, bordersep=0,color=black] {}
	\end{Form}
	\xspace
	\else
	#2
	\fi
	\addtocounter{Trous}{1}
}

%#########################
%en tête puis pied de page
%#########################

\pagestyle{empty}
\pagestyle{fancy} 
\renewcommand{\headrulewidth}{0pt}%Pas de ligne horizontale en haut
\lhead[]{}%entre crochets pages paires entre accolades pages impaires
\chead[\small ]{\footnotesize \href{http://unemainlavelautre.net/2ieme.html}{16 Nombres rationnels.} }% l left, c center, r right
\rhead[]{}
\lfoot[]{}
\cfoot[\small -\thepage -]{\small -\thepage -}
\rfoot[]{}

%############################
%les environnements qu'on affiche ou pas  #
%############################

\newcommand{\exclure}[1]{\renewenvironment{#1}{\begingroup\comment}{\endcomment\endgroup\ignorespaces}}

%Pour cours corrections
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours exercices
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}  \exclure{methode}

%Pour cours lecon
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{lecon} \exclure{exercice} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{correction}

%Pour cours intégrale
\exclure{details} \exclure{bareme} \exclure{sujet} \exclure{notabene} \exclure{exercicecorrection}

%Pour devoir surveillé sujet
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{details} \exclure{correction}

%Pour devoir surveillé correction
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene} \exclure{sujet}

%Pour devoir surveillé intégrale
%\exclure{preuve} \exclure{exemples} \exclure{remarques} \exclure{corollaire} \exclure{lemme} \exclure{proposition} \exclure{theoreme} \exclure{culturegenerale} \exclure{definition} \exclure{lecon} \exclure{exercicecorrection} \exclure{notabene}

%###############################
%#Double numérotation des pages#
%###############################
%\pagenumbering{roman} %À mettre juste avant \begin{document}. DOnc simplement décommenter.
%\pagenumbering{arabic} %À copier décommenté 

\begin{document}

\section{16 Nombres rationnels.}

\subsection{Les ensembles de nombres entiers.}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers naturels} sont les nombres qui servent à dénombrer, à compter. L'ensemble de tous les entiers naturels est: $${\color{purple}\mathbb{N}}=\{ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $10^{13}$ est une entier naturel. Nous écrirons $10^{13} \in \mathbb{N}$.
		
		\item Si $n \in \mathbb{N}$ alors $2n$ est un nombre pair positif et $2n+1$ est un nombre impair positif.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Les \emph{\color{purple}entiers (relatifs)} sont les entiers naturels et leurs \emph{\color{purple}opposés}. L'ensemble de tous les entiers (relatifs) est: $${\color{purple}\mathbb{Z}}=\{ \dots ,\ -3,\ -2,\ -1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ \dots \}$$
	
\end{lecon}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $-123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $123 \in \mathbb{Z}$.
		
		\item $0 \in \mathbb{Z}$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Il est possible de reconnaître un nombre entier par l'un de ses développements décimaux infinis. En effet l'une de ses écritures décimales ne comporte que des $0$ dans la partie décimale. Par exemple: $1,000\dots$ et $-234,000\dots$.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$ mais $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$.
	
\end{proposition}

\subsection{Ensemble des nombres rationnels.}

\begin{notabene}
	
	Dans la mesure où les puissances n'ont pas été revues, il est possible d'utiliser la notation puissance mais il ne faut pas pour l'instant utiliser les règles de calcul avec les puissances.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Les nombres rationnels.}

\begin{definition}
	
	Les \emph{\color{purple}nombres rationnels} sont les nombres qui peuvent s'écrire sous forme de fraction.
	
	Ainsi un nombre $x$ est rationnel s'il existe $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ tels que $x=\frac{a}{b}$.
	
	L'ensemble de tous les nombres rationnels est noté: {\color{purple}$\mathbb{Q}$}.
	
\end{definition}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $\frac{1}{3}$ et $-\frac{1}{3}$ sont des nombres rationnels.
		\item $1=\frac{1}{1} \in \mathbb{Q}$.
		\item $0,1=\frac{1}{10} \in\mathbb{Q}$.
		\item Les racines carrées de nombres qui ne sont pas des carrés parfaits sont irrationnels: $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$, ... sont irrationnels. Si $n \in \mathbb{N}$ et si $n$ n'est pas un carré parfait alors $\sqrt{n} \not\in\mathbb{Q}$.
		\item $\pi$ et $\mathbb{e}$ sont irrationnels.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}
	
\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Un entier est un nombre rationnel. Par exemple: $-13=\frac{-13}{1}$.
		\item Les nombres décimaux peuvent s'écrire comme des fractions donc ce sont des nombres rationnels. Ainsi: $0,1=\frac{1}{10}$.
		\item Il existe des nombres qui ne sont pas décimaux et qui sont rationnels. Ainsi $\frac{1}{3}$ est un nombre rationnel mais son écriture décimale est infinie v(et ne comporte pas uniquement des $9$ à partir d'un certain rang) donc ce n'est un nombre décimal.
		
		\begin{notabene}
			
			Faire une division à la main pour faire apparaître la période dans l'écriture décimale.
			
		\end{notabene}
		
		\item Tous les nombres ne sont pas rationnels.
		\item Lorsqu'un nombre rationnel a une écriture décimale infinie on préfère son écriture fractionnaire.
		
		\begin{notabene}
			Les écritures décimale infinies ne sont pas toujours uniques: $\np{0,999}\dots=1$.
			
		\end{notabene}
		
		\item Un nombre rationnel admet une écriture fractionnaire canonique (unique) appelée la \emph{\color{purple}forme irréductible} qui est obtenue lorsque le PGCD des numérateur et dénominateur est $1$ (ils n'ont pas de facteur commun). \emph{confer infra}.
		
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{proposition}
	
	Lorsqu'un nombre a une écriture décimale infinie périodique c'est un nombre rationnel.
	
\end{proposition}

\begin{remarques}
	
	\begin{enumerate}
		\item Ce résultat est admis.
		\item On dit que l'écriture est périodique lorsqu'une série de chiffre se reproduit indéfiniment.
	\end{enumerate}
	
\end{remarques}

\begin{exemples}
	
	\begin{enumerate}
		\item $0,333\dots$ est rationnel.
		\item $45,78242424\dots$ est rationnel.
	\end{enumerate}
	
\end{exemples}

\begin{notabene}
	
	Faire au tableau un schéma des inclusions successives avec les ensembles usuels vus jusque là.
	
\end{notabene}

\subsubsection{Un nombre célèbre pour son irrationalité.}

\begin{lemme}{}
	
	Soit $p \in \mathbb{Z}$.
	
	\medskip
	Si $^2$ est pair alors $p$ est pair.
	
\end{lemme}

\begin{proposition}{ - Irrationalité de $\sqrt{2}$.}
	
	$\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$.
	
\end{proposition}

\begin{preuve}
	
	\objectif{Démontrons en raisonnant par l'absurde que $\sqrt{2}$ est irrationnel.}
	
	Supposons que $\sqrt{2}$ est un nombre rationnel.
	
	{\color{orange}Il faut interpréter ceci en utilisant la définition du nombre rationnel.}
	
	Il existe donc des entiers naturels $p$ et $q$ avec $q$ non nul tels que: $\sqrt{2} = \frac{p}{q}$.
	
	Montrons que $p$ et $q$ sont des nombres pairs.
	
	\begin{enumerate}[*]
		\item Donc, en multipliant par $q$ de part et d'autre dans l'égalité: $q\sqrt{2}=p$.
		
		{\color{orange}Nous allons nous ramener à l'arithmétique en utilisant des entiers naturels.}
		
		\begin{align*}
			\left( q\sqrt{2} \right)^2 &= p^2 \\
			\intertext{nous en déduisons successivement:}
			\left( \sqrt{2} \right)^2 q^2  &= p^2\\
			2q^2 &= p^2
		\end{align*}
		
		Donc $p^2$ est pair et, d'après le lemme $p$ est donc pair.
		
		\item Puisque $p$ est pair il existe $k$ tel que $p=2k$. Nous pouvons donc écrire:
		
		\begin{align*}
			2q^2 &= (2k)^2\\
			2q^2 &= 4k^2\\
			q^2 &= 2k^2
		\end{align*}
		
		Donc $q^2$ est pair et d'après le lemme $q$ aussi est pair.
		
	\end{enumerate}		
	
	\medskip
	{\color{orange}Nous avons obtenus ici une incohérence.}
	
	Si $p$ et $q$ sont pairs c'est qu'ils ont un diviseur commun: $2$. La fraction $\frac{p}{q}$ n'est pas irréductible ce qui contredit notre hypothèse.
	
	\begin{conclusion}
		
		
		Nous avons démontré, en raisonnant par l'absurde, que nécessairement, $\sqrt{2}$ est irrationnel.
		
	\end{conclusion}
	
\end{preuve}

\subsection{Le dévissage de l'ensemble des nombres (les matriochka).}

\begin{proposition}{}
	
	$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}$ mais  $\mathbb{R} \not\subset \mathbb{Q} \not\subset \mathbb{D} \not\subset \mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$.
	
\end{proposition}

\begin{lecon}
	
	\bigskip
	Nous pouvons résumer les inclusions entre les ensembles classiques étudiés avec un diagramme de Venn qui schématise la chaîne d'inclusion: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
	
	
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[xscale=0.75,yscale=0.75]
			\def\an{2};
			\def\bn{1};
			\draw[black, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\an*cos(\x)},{\bn*sin(\x)});
			\draw [black] ({-\an+1},{0}) node {$\mathbb{N}$};
			\draw [black] ({0.5},{0}) node {$0$, $1$, $2$, $\dots$};
			\def\az{3};
			\def\deltanz{0.75};
			\def\bz{2};
			\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\az*cos(\x)+\deltanz},{\bz*sin(\x)});
			\draw [blue] ({\az-0.5+\deltanz},{0}) node {$\mathbb{Z}$};
			\draw [blue] ({\az-1},{\bz-1}) node {$-3$};
			\draw [blue] ({\az-1},{-\bz+1}) node {$-10^3$};
			\def\ad{4};
			\def\deltazd{1.5};
			\def\bd{3};
			\draw[Green, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ad*cos(\x)+\deltazd},{\bd*sin(\x)});
			\draw [Green] ({\ad-0.5+\deltazd},{0}) node {$\mathbb{D}$};
			\draw [Green] ({\ad-1},{\bd-1}) node {$-0,013$};
			\draw [Green] ({\ad-0.4},{-\bd+1.3}) node {$\dfrac{2386}{100}$};
			\def\aq{5};
			\def\deltadq{2.25};
			\def\bq{4};
			\draw[red, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\aq*cos(\x)+\deltadq},{\bq*sin(\x)});
			\draw [red] ({\aq-0.5+\deltadq},{0}) node {$\mathbb{Q}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{\bq-1}) node {$-\dfrac{1}{3}$};
			\draw [red] ({\aq-0.5},{-\bq+1}) node {$\dfrac{1}{7}$};
			\def\ar{6};
			\def\deltaqr{3};
			\def\br{5};
			\draw[orange, thick][samples=100,domain=0:360] plot({\ar*cos(\x)+\deltaqr},{\br*sin(\x)});
			\draw [orange] ({\ar-0.5+\deltaqr},{0}) node {$\mathbb{R}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{\br-1}) node {$\sqrt{2}$};
			\draw [orange] ({\ar-0.5},{-\br+1}) node {$\pi$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
\end{lecon}

\subsection{Exercices.}

\begin{exercice}{A}
	
	Déterminez la décomposition en facteurs premiers de $180$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Pour cette question nous pouvons nous contenter d'exhiber la réponse. Regardons le travail à faire au brouillon.
		
		Nous divisons autant de fois que possible par les nombres premiers en allant du plus petit au plus grand.
		
		\begin{enumerate}[\text{Étape } 1 $\bullet$]
			\item $180$ est divisible par $2$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 &
			\end{array} \]
			
			\item $90$ est divisible par $2$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 & 2\\
				45 &
			\end{array} \]
			
			\item $45$ n'est pas divisible par $2$, nous essayons donc avec le nombre premier suivant $3$. $45$ est bien divisible par $3$ puisque $4+5=9$ donc:
			
			\[ \begin{array}{r|l}
				180 & 2\\
				90 & 2\\
				45 & 3 \\
				15 & 
			\end{array} \]
			
		\end{enumerate}
		
		En procédant ainsi de proche en proche nous obtenons finalement
		
		\[ \begin{array}{r|l}
			180 & 2\\
			90 & 2\\
			45 & 3\\
			15 & 3 \\
			5 & 5 \\
			1 &
		\end{array} \]
		
		Ainsi: $180= 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5$.
		
		Finalement nous écrirons uniquement
	}
	
	\begin{conclusion}
		
		$180=2^2\times 3^2 \times 5$.
		
	\end{conclusion}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Donnez la forme irréductible du nombre rationnel $\displaystyle \frac{120}{300}$.
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	$\frac{120}{300}=\frac{2}{5}$.
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Faire à la main pour apprendre mise au même dénominateur. Puis faire deux vérifications à la calculatrice: en faisant un calcul en ligne puis un calcul avec les écritures fractionnaires.
		
		Remarque: les calculs à la main sont désormais exigés notamment en STMG.
		
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme de fraction irréductibles.:
	
	\begin{tasks}(2)
		\task $\displaystyle A=\frac{1}{3}+\frac{2}{7}$
		\task $\displaystyle B=\frac{1}{7}-\frac{4}{11}$
		\task $\displaystyle C=\frac{-5}{3}+\frac{2}{7}$
		\task $\displaystyle D=\frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}$
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	{\color{orange}Nous pouvons vérifier les résultats à la calculatrice.}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
			A &= \frac{1}{3}+\frac{2}{7}\\
			A &= \frac{1\times 7}{3\times 7} +\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
			A&= \frac{7}{21}+\frac{6}{21}\\
			A &= \frac{13}{21}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{1}{7}-\frac{4}{11}\\
			B &= \frac{1\times 11}{7\times 11}-\frac{4\times 7}{11\times 7}\\
			B &= \frac{11}{77}-\frac{28}{77}\\
			B &= -\frac{17}{77}
		\end{align*}
		
		\item
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{-5}{3}+\frac{2}{7}\\
			C &= \frac{-5\times 7}{3\times 7}+\frac{2\times 3}{7\times 3}\\
			C &= \frac{-35}{21}+\frac{6}{21}\\
			C &= \frac{-29}{21}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{3}{-7}-\frac{-2}{3}\\
			D &= \frac{3\times 3}{-7\times 3}-\frac{-2\times (-7)}{3\times (-7)}\\
			D &= \frac{9}{-27}-\frac{14}{-27}\\
			D &= \frac{-5}{-27}\\
			D &= \frac{5}{27}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	\begin{notabene}
		
		Il faut savoir faire ces calculs à la calculatrice.
		
	\end{notabene}
	
	Évaluez les quantités suivantes en donnant le résultat sous forme d'une fraction irréductible:
	
	\begin{tasks}(3)  		\task $\displaystyle A=-\frac{-4}{7-3}$
		\task $\displaystyle B=\frac{2}{3}\times \frac{6}{7}$
		\task $\displaystyle C=\frac{-2}{4}\times \left( -\frac{3}{-6}\right)$
		\task $\displaystyle D=\frac{\frac{4}{5}}{\frac{6}{7}}$
		\task$\displaystyle E=\frac{3}{\frac{5}{4}}$
		\task $\displaystyle F=\frac{\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}}{\frac{1}{7}}\times \frac{1}{2}$
		\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercicecorrection}
	
	\begin{enumerate}
		\item 
		\begin{align*}
			A &= -\frac{-4}{4}\\
			&= -(-1)\\
			&= 1
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			B &= \frac{2 \times 6}{3 \times 7}\\
			&= \frac{12}{21}\\
			&= \frac{{\color{orange}3} \times 2 \times 2}{{\color{orange}3} \times 7}\\
			&= \frac{4}{7}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			C &= \frac{-2}{4} \times \frac{-3}{-6}\\
			&= \frac{-2 \times (-3)}{4 \times (-6)}\\
			&= \frac{6}{-24}\\
			&= - \frac{6}{24}\\
			&= - \frac{{\color{orange}6} \times 1}{{\color{orange}6} \times 2 \times 2}\\
			&= -\frac{1}{4}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			D &= \frac{4}{5} \times \frac{7}{6} \\
			&= \frac{4 \times 7}{5 \times 6}\\
			&= \frac{28}{30}\\
			&= \frac{ {\color{orange}2} \times 2 \times 7}{ {\color{orange}2 } \times 3 \times 5}\\
			&= \frac{14}{15}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			E &= \frac{\frac{3}{1}}{\frac{5}{4}}\\
			&= \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{5}\\
			&= \frac{3 \times 2 \times 2}{5}\\
			&= \frac{12}{5}
		\end{align*}
		
		\item 
		
		\begin{align*}
			F &= \frac{\frac{1 \times 3}{2 \times 5}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{\frac{3}{10}}{\frac{1}{7}} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3}{10} \times \frac{7}{1} \times \frac{1}{2}\\
			&= \frac{3 \times 7 \times 1}{10 \times 1 \times 2}\\
			&= \frac{3 \times 7}{2 \times 2 \times 5} \\
			&= \frac{21}{20}
		\end{align*}
		
	\end{enumerate}
	
\end{exercicecorrection}

\begin{exercice}{A}
	
	Calculez et donnez le résultat sous forme de fraction irréductible.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\displaystyle A=\frac{-3}{2}+\frac{1}{5}$.
		\task $\displaystyle B=\frac{2}{6}\times \frac{3}{7}$.
		\task $\displaystyle C=\frac{35}{49}+\frac{56}{37}$.
		\task $\displaystyle D=\frac{256}{47}\times \frac{245}{650}$.
		\task $\displaystyle E=\frac{\frac{4}{6}+\frac{17}{3}}{56}+\frac{9}{13}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $\sqrt{17}$.
		\task $-\np{34509786}$.
		\task $-0,0223$.
		\task $34,45218\dots$.
		\task $\dfrac{345}{100}$.
		\task $\dfrac{24}{7}$.
		\task $\dfrac{34}{2^3 \times 5^2}$.
		\task $\dfrac{\frac{1}{3}}{14}$.
		\task $3,234 \times 10^{45}$.
		\task $\pi+3$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{exercice}{C}
	
	Déterminez sans justification le plus petit ensemble classique auquel appartient le nombre proposé.
	
	\begin{tasks}(3)
		\task $-\dfrac{12}{3}$.
		\task $-\np{23,7237237}\dots$.
		\task $\dfrac{76987}{10}$.
		\task $\pi$.
		\task $\sqrt{3}^2$.
		\task $0,987654321\times 10^9$.
		\task $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$.
		\task $\dfrac{2}{250}$.
		\task $3+\sqrt{2}$.
		\task $\dfrac{1}{5}$.
	\end{tasks}
	
\end{exercice}

\begin{lecon}
	
	~
	\newpage
	~
\end{lecon}
	
\end{document}

\section{Modèles.}

\subsection{Graphique}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\def\xY{-0.5};
	\def\yY{-0.5};
	\def\xZ{8.5};
	\def\yZ{7};
	\coordinate (Y) at (\xY,\yY);
	\coordinate (Z) at (\xZ,\yZ);
	\draw[xstep=0.1cm, ystep=0.1cm, line width=0.01cm,gray!50!white] (Y) grid (Z);
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!70!white] (Y) grid (Z);
	\draw (0,0)node[below left]{\small $0$};
	\foreach \x in {1, 2} \draw[thick](\x,0.1cm)--(\x,-0.1cm) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\x }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\foreach \y in {1,2} \draw[thick](0.1cm,\y)--(-0.1cm,\y) node[below left]{\footnotesize  \pgfmathparse{\y }\pgfmathprintnumber{\pgfmathresult}};
	\draw[ ->,very thick] (\xY, 0) -- (\xZ, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->,very thick] (0, \yY) -- (0, \yZ) node[above]{$y$};
	\draw[blue, thick][samples=100,domain=0:7] plot(\x,{(\x +1)^2/exp(\x )});
	\draw[blue] (3,2) node[fill=white] {$\mathcal{C}_B$};
	\fill[color=gray , opacity=0.25] (-0.5, {(-(2/9)*((-0.5)*2)*(2*(-0.5))+(4/3)*(2*(-0.5))+4)/2})
	-- plot [domain=-0.5:2] (\x,{(-(2/9)*(\x*2)*(2*\x)+(4/3)*(2*\x)+4)/2})
	-- (2, {(-(2/9)*(2*2)*(2*2)+(4/3)*(2*2)+4)/2})
	-- (2,0) 
	--(-0.5,0)
	-- cycle;
	\draw[blue, thick] plot[smooth] coordinates {(-3,-1)(-2.5,-0.65)};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Pour évaluer la fonction f en a avec tikz: \pgfmathparse{f(a)}\pgfmathresult

%Pour affecter la valeur a à la variable \x: \def\x{a}

\subsection{Graphique nouveau.}


\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%extremites du graphique
	\def\xcoinbasgauche{-2};
	\def\xcoinhautdroit{4};
	\def\ycoinbasgauche{-4};
	\def\ycoinhautdroit{4};
	%Les deux grilles
	\draw[xstep=0.5cm, ystep=0.5cm, line width=0.01cm,gray!40!white] ({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	\draw[xstep=1cm, ystep=1cm, line width=0.02cm,black!60!white]({\xcoinbasgauche},{\ycoinbasgauche}) grid ({\xcoinhautdroit},{\ycoinhautdroit});
	%Les deux axes
	\draw[ ->,thick] (\xcoinbasgauche, 0) -- (\xcoinhautdroit, 0) node[right]{$x$};
	\draw[ ->, thick] (0, \ycoinbasgauche) -- (0, \ycoinhautdroit) node[above]{$y$};
	%repere orthonorme
	\coordinate (O) at ({0},{0});
	\draw (O) node[below left] {$O$};
	\coordinate (I) at ({1},{0});
	\draw (I) node[below left] {$I$};
	\coordinate (J) at ({0},{1});
	\draw (J) node[below left] {$J$};
	%fonction
	\draw[orange, thick][samples=100,domain=-1.2:3.2] plot({\x},{\x*\x*\x-3*\x*\x+2});
	%Points
	\foreach \a/\b in { -1/-2, 0/2, 1/0, 2/-2, 3/2} {\draw [red, thick] ({\a},{\b}) node{$\times$};}
	%Tangentes horizontales
	\def\longueurtangente{0.7};
	\foreach \a/\b in { 0/2, 2/-2}{ \draw[blue, thick][>=latex, <->] ({-\longueurtangente+\a}, {\b}) -- ({\longueurtangente+\a},{\b});}
	%Ligne définie par des points
	\draw[orange, thick] plot[smooth] coordinates {(-1,-1)(1,2)};
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Pavé droit.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\def\longueur{5};
	\def\hauteur{3};
	\def\profondeur{2};
	\def\angledefuite{30};
	\def\coefficientmultiplicateur{0.8};
	\def\xA{0};
	\def\yA{0};
	%Création des points du bas.
	\coordinate (A) at ({\xA},{\yA});
	\coordinate (B) at ({\xA+\longueur},{\yA});
	\coordinate (C) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	\coordinate (D) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)});
	%Création des points du haut
	\coordinate (E) at ({\xA},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (F) at ({\xA+\longueur},{\yA+\hauteur});
	\coordinate (G) at ({\xA+\longueur+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	\coordinate (H) at ({\xA+\profondeur*cos(\angledefuite)},{\yA+\profondeur*sin(\angledefuite)+\hauteur});
	%Nom des points du bas dans le sens direct
	\draw (A) node [below left] {$A$};
	\draw (B) node [below right] {$B$};
	\draw (C) node [below right] {$C$};
	\draw (D) node [above left] {$D$};
	\draw (E) node [above left] {$E$};
	\draw (F) node [above] {$F$};
	\draw (G) node [above right] {$G$};
	\draw (H) node [above left] {$H$};
	%Les arêtes du bas
	\draw [] (A) -- (B);
	\draw [] (B) -- (C);
	\draw [dashed] (C) -- (D);
	\draw [dashed] (D) -- (A);
	%Les arêtes verticales
	\draw [] (A) -- (E);
	\draw [] (B) -- (F);
	\draw [] (C) -- (G);
	\draw [dashed] (D) -- (H);
	%Les arête du haut
	\draw [] (E) -- (F);
	\draw [] (F) -- (G);
	\draw [] (G) -- (H);
	\draw [] (H) -- (E);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Dessin.}

\begin{tikzpicture}
\coordinate (A) at (0,0);
\coordinate (B) at (5,-1);
\coordinate (F) at (6,0);
\coordinate (C) at (7,1);
\coordinate (D) at (2,2);
\coordinate (O) at (3.5,0.5);
\coordinate (S) at (3.5,6);
\coordinate (J) at (3.5,3.5);
\coordinate (K) at (3,4.666);
\draw (A) node {$\bullet$};
\draw (B)node {$\bullet$};
\draw (F)node {$\bullet$};
\draw (C)node {$\bullet$};
\draw (D)node {$\bullet$};
\draw (O)node {$\bullet$};
\draw (S)node {$\bullet$};
\draw (J)node {$\bullet$};
\draw (K)node {$\bullet$};
\draw (A)node[below]{$A$};
\draw (B)node[below right]{$B$};
\draw (F)node[right]{$F$};
\draw (C)node[right]{$C$};
\draw (D)node[above right]{$D$};
\draw (O)node[above right]{$O$};
\draw (S)node[above]{$S$};
\draw (J)node[above right]{$J$};
\draw (K)node[below right]{$K$};
\draw[blue, thick](A)--(B)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(D)--(C);
\draw[blue, thick](A)--(S);
\draw[blue, thick](B)--(S);
\draw[blue, thick](C)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](O)--(S);
\draw[blue, thick](F)--(S);
\draw[blue, thick,dashed](A)--(C);
\draw[blue, thick,dashed](D)--(B);
\draw[blue, thick,dashed](B)--(J)--(C);
\fill[color=gray , opacity=0.05] (A)--(B)--(C)--(D)--cycle;	
\fill[color=gray , opacity=0.1] (B)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.15] (A)--(D)--(C)--(S)--cycle;
\fill[color=gray , opacity=0.20] (B)--(C)--(J)--cycle;			
\end{tikzpicture}

\subsection{Arbre nouveau 2 niveau.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{2};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{3};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noB*\yB-(\noBe+1)/2*\yB-\noB*\yB/2-(\numero-1)*\yB*\noBe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{2}$/\posB,
		nA1/nB3/B3/3/$3^2$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^0$/$\np{2}$/\posB,
		nA2/nB5/B5/5/$3^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB6/B6/6/$3^2$/$\np{2}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{(\noB-\numero)*\yB-\noB*\yB/2});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre nouveau 3 niveaux.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	%Écarts entre entre racine et premier niveau
	\def\xA{2};
	%Nombre de nœuds du premiers niveau
	\def\noA{3};
	%Nombre de nœuds du deuxième niveau
	\def\noB{6};
	%Nombre de nœuds par embranchement du deuxième niveau
	\def\noBe{2};
	%Écarts entre nœuds du deuxième niveau
	\def\xB{2+\xA};
	\def\yB{1};
	%Nombre de nœuds du troisième niveau
	\def\noC{12};
	%Nombre de nœuds par embranchement du troisième niveau
	\def\noCe{2};
	%Écarts entre nœuds du troisième niveau
	\def\xC{2+\xB};
	\def\yC{1};
	%Racine
	\coordinate (O) at ({0},{-\yB/2});
	%Pour ne pas écrire les mots above et below
	\def\posA{above};
	\def\posB{below};
	%Position des nœuds du premier niveau
	%Dessin des nœuds branches du premier niveau 
	\foreach \nA/\A/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/A1/1/$2^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/A2/2/$2^1$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/A3/3/$2^2$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\A) at ({\xA},{\noC*\yC-(\noCe*\noBe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noBe*\noCe});
		\draw node (\nA) at (\A) {\contenu};
		\draw (O)--(\nA) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du deuxième niveau
	\foreach \nA/\nB/\B/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nA1/nB1/B1/1/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA1/nB2/B2/2/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA2/nB3/B3/3/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA2/nB4/B4/4/$3^1$/$\np{1}$/\posB,
		nA3/nB5/B5/5/$3^0$/$\np{1}$/\posA,
		nA3/nB6/B6/6/$3^1$/$\np{1}$/\posB
	}{
		\coordinate (\B) at ({\xB},{\noC*\yC-(\noCe+1)/2*\yC-\noC*\yC/2-(\numero-1)*\yC*\noCe});
		\draw node (\nB) at (\B) {\contenu};
		\draw (\nA)--(\nB) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	
	%Position des nœuds, dessin des nœuds et des branches du troisième niveau
	\foreach \nB/\nC/\C/\numero/\contenu/\ponderation/\position in {
		nB1/nC1/C1/1/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB1/nC2/C2/2/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC3/C3/3/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB2/nC4/C4/4/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC5/C5/5/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB3/nC6/C6/6/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC7/C7/7/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB4/nC8/C8/8/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC9/C9/9/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB5/nC10/C10/10/$5^0$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC11/C11/11/$5^1$/$\np{1}$/\posA,
		nB6/nC12/C12/12/$5^1$/$\np{1}$/\posA
	}{
		\coordinate (\C) at ({\xC},{(\noC-\numero)*\yC-\noC*\yC/2});
		\draw node (\nC) at (\C) {\contenu};
		\draw (\nB)--(\nC) node[midway, sloped, \position] {\ponderation};
	};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre.}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
	\coordinate (A1) at (4,3);
	\coordinate (A2) at (4,1);
	\coordinate (A3) at (4,-1);
	\coordinate (A4) at (4,-3);
	\coordinate (B1) at (2,2);
	\coordinate (B2) at (2,-2);
	\coordinate (C1) at (0,0);
	\draw node (A11) at (A1) {$1$};	
	\draw node (A12) at (A2) {$2$};
	\draw node (A13) at (A3) {$3$};
	\draw node (A14) at (A4) {$4$};
	\draw node (B11) at (B1) {$1$};
	\draw node (B12) at (B2) {$2$};
	\draw (B11)--(A11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B11)--(A12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,5$};
	\draw (B12)--(A13)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (B12)--(A14)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$0,25$};
	\draw (C1)--(B11)node[midway,sloped,above]{\color{blue}$\frac{3}{8}$};
	\draw (C1)--(B12)node[midway,sloped,below]{\color{blue}$\frac{5}{8}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Arbre bis.}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}[scale=0.5]
	%Création des nœuds
	\foreach \A/\ord/\n in {A1/7/1, A2/5/7, A3/3/1, A4/1/7, A5/-1/1, A6/-3/7, A7/-5/1, A8/-7/7} \node (\A) at (8,\ord){\n};
	\foreach \B/\ord/\n in {B1/6/1, B2/2/3, B3/-2/1, B4/-6/3} \node (\B) at (4,\ord) {\n};
	\foreach \C/\ord/\n in {C1/4/1, C2/-4/2} \node (\C) at (0,\ord) {\n};
	\foreach \D/\ord/\n in {D1/7/1, D2/5/7, D3/3/3, D4/1/21, D5/-1/2, D6/-3/14, D7/-5/6, D8/-7/42} \node (\D) at (12,\ord){\n};
	%Branches entre les nœuds
	\foreach \B/\A in {B1/A1, B1/A2, B2/A3, B2/A4, B3/A5, B3/A6, B4/A7, B4/A8} \draw (\B) -- (\A);
	\foreach \C/\B in {C1/B1, C1/B2, C2/B3, C2/B4} \draw (\C) -- (\B);
	\foreach \C in {C1, C2} \draw (-4,0) -- (\C);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Tab}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
	\tkzTabInit[lgt=1.6 , espcl=1.6, deltacl=0.5]{$x$ /0.8, $f'$ /0.8, $f$ /1.6}
	{$-\infty$ ,$1$, $+\infty$}
	\tkzTabLine{,+,d,+,}%
	\tkzTabVar {+/ $\mathrm{e}$, -D+ / $0$ / $+\infty$, - / $\mathrm{e}$ / }
	\end{tikzpicture}
\end{center}

\subsection{Tab2.}

\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=1 , espcl=1.6]{$x$ /0.8, $C_M'$ /0.8, $C_M$ /2.4}
{$-\infty$ ,$-10$, $0$, $5$, $10$, $40$,  $+\infty$}
\tkzTabLine{,+,z,-,d,-,t,-,z,+,t,+,}%
\tkzTabVar {-/$-\infty$, +/$30$,-D+/$-\infty$ /$+\infty$,R/ /,-/$70$, R/ /, +/$+\infty$ }
\tkzTabVal[draw]{3}{5}{0.5}{}{$75$}
\tkzTabVal[draw]{5}{7}{0.5}{}{$\np{92,5}$}
\draw[fill=Red!80,opacity=0.2](M30) rectangle (M63);
\end{tikzpicture}

\subsection{Python}

\begin{center}
	\begin{minipage}{5cm}
		\lstset{emph={fonction}, emphstyle=\color{red},
			emph={[2]variable1,variable2}, emphstyle={[2]\color{orange}}}
		\begin{lstlisting}{style=pythonstyle}
		def fonction(variable1):
		variable2=3
		\end{lstlisting}
	\end{minipage}
\end{center}

\subsection{Bash}

%\begin{minipage}{5cm}
\begin{lstlisting}{style=bashstyle}
sudo apt update
sudo apt upgrade
\end{lstlisting}
\hfill {\tiny \href{http://unemainlavelautre.net/fichier.txt}{Pour copier-coller: clic droit, ouvrir dans une nouvelle fenêtre.}}
%\end{minipage}

\subsection{Pseudocode}

\begin{tabular}{|c|}
	\hline
	\begin{minipage}{8cm}
		\LinesNumbered
		\SetKw{entrer}{entrer}
		\SetKw{prend}{prend la valeur}
		\SetKw{afficher}{afficher}
		\begin{algorithm}[H]
			\SetAlgoLined
			\DontPrintSemicolon
			\entrer pi
			0\;
			\Tq{1}{
				2\;
				\eSi{3}{
					4\;
					5\;
				}{
					6\;
				}
			}
			
			\Pour{7}{
				\Si{8}{
					9\;
				}
			}
		\end{algorithm}
	\end{minipage}
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tabularx}

Pour center dans une seule cellule \hfill avant et après le texte suffisent

\noindent
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.5cm}|*{6}{>{\centering\arraybackslash}X|}}
	\hline
	Nombre affiché sur la face & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6
	\\
	\hline
\end{tabularx}

\subsection{Tableau sans une case et diagonale.}


\begin{tabular}{|*{7}{c|}}
	\cline{2-7} \multicolumn{1}{c|}{}& Moyenne & Minimum & Quartile 1 & Médiane &	Quartile 3 & Maximum
	\\
	\hline
	Série $T$ &	\backslashbox{$v_n$}{$u_n$}&	67&	70&	72&	74& 78
	\\
	\hline
	Série $P$ &&&&&& 
	\\
	\hline
\end{tabular}

\subsection{Tableau ligne colonne.}

\begin{tabular}{|*{11}{c|}}
	\hline
	\multirow{2}*{Fournisseur} & \multicolumn{8}{c|}{Critères} & \multirow{2}*{Note globale} & \multirow{2}*{Classement}
	\\
	\cline{2-9}
	& Sécurité &&&&&&&&&
	\\
	\hline
	&  &&&&&&&&&
	\\
	\hline
\end{tabular}\\

\subsection{Retrait dans la marge.}

\hspace*{-1cm}

\subsection{Note dans la marge}

\marginpar{\color{red}$\heartsuit$}

\subsection{Notation modulo.}

$3 \equiv 1 \mod{2}$

\subsection{Diapositive.}

%Pour afficher la page en paysage il faut modifier
%\usepackage[a5paper,landscape]{article} %ACTIVER POUR A5
%\geometry{hscale=0.9,vscale=0.9,centering} %ACTIVER POUR A5

\pagecolor{cyan!25}

\begin{center}
	
	\begin{tikzpicture}
	\coordinate (AA) at (-9,6.5);
	\node (AA) at (AA) {};
	\coordinate (BB) at (9,6.5);
	\node (BB) at (BB) {};
	\coordinate (CC) at (9,-6.5);
	\node (CC) at (CC) {};
	\coordinate (DD) at (-9,-6.5);
	\node (DD) at (DD) {};
	\draw (AA)--(BB)--(CC)--(DD)--(AA);
	\end{tikzpicture}
	
\end{center}

\subsection{Binomiale.}

\begin{enumerate}[*]
	\item Épreuve de Bernoulli.
	
	\begin{enumerate}[$\bullet$]
		\item Expérience: lancer un dé.
		\item Succès: \og Obtenir $6$ \fg{}.
		\item Probabilité de succès: $p=\frac{1}{6}$.
	\end{enumerate}
	
	\item Schéma de Bernoulli.
	
	L'épreuve de Bernoulli précédemment décrite est répétée à l'identique et de façon indépendante $n=3$ fois.
	
	\item Loi binomiale.
	
	$X$ compte le nombre de $6$ parmi les $3$ lancés, donc compte le nombre de succès donc: $X \hookrightarrow \mathscr{B}\left( 3, \frac{1}{6} \right)$.
	
\end{enumerate}